北京的 Peking Union Medical College Hospital 的博士後研究員暨神經外科住院醫師 Shanmu Jin，已證明 Crouzeix's Conjecture；這是一個在矩陣分析領域中已懸而未決超過二十年的問題。關鍵論證並非來自數學系，而是在 ChatGPT Work mode 內部，經由 GPT-5.6 Sol 連續 16 小時的自主執行過程中浮現，並由 Jin 自行設計、經過精心構造的提示詞所引導。

通往經典問題的非典型路徑

Jin 對這項猜想的接觸路徑並非線性。他大學主修地質學，之後取得醫學學位，並透過自我導向的學習建立數學能力——最初的動機來自於對經顱超音波的研究。

Crouzeix's Conjecture 於 2004 年由法國數值分析學者 Michel Crouzeix 提出，關注的是矩陣的譜範數與多項式在其 numerical range 上最大值之間的關係；numerical range 是複平面上一個緊緻、凸的區域，也稱為 field of values，所反映的矩陣行為比單看特徵值更完整。該猜想主張在此界限中常數 2 即已足夠，而 2 也被認為是可能的最小常數；Crouzeix 的原始論文先給出 11.08 的有限常數，而目前已發表的最緊界——來自 Crouzeix 與 Palencia 於 2017 年的 1 + √2，約為 2.414——仍高於目標。這一結果的證明可直接應用於矩陣函數分析、GMRES 等迭代求解器——這是一種在科學計算與工程模擬中處理大型稀疏線性系統的標準工具——以及 rational Krylov methods。

自主會話內部

Jin 並非以互動方式逐步提示模型，而是採用一個延長的自主會話，所用提示架構改編自 OpenAI 針對更早一項數學成果、即 Cycle Double Cover conjecture 所開發的方案。該設定禁止模型連線上網，並部署了彼此競爭的 subagents，要求它們獨立提出並壓力測試不同的證明策略，明確禁止過早收斂，且只有在具體反例下才能推翻候選論證。模型被要求持續執行，直到一份完整證明通過內部對抗式審查。

於 2026 年 7 月 27 日發布的預印本包含完整提示詞、連續的草稿手稿、Lean formalization——也就是將證明轉寫成可由機器檢查的形式，採用數學家包括 Terence Tao 用來驗證複雜論證的 proof-assistant 技術——以及一份公理審核。

同儕確認，以及如今到底是誰在做數學

這份證明已由 Cornell 數學家 Alex Townsend、數值分析學者 Anne Greenbaum，以及 Crouzeix 本人——該猜想的原始提出者——審閱並確認。正式同儕審查仍在進行中。

在最初預印本出現八天後，數學家 Emiel Lorist 與 Felix Schwenninger 發表了一份獨立的五頁證明，採用不同方法，結合經典的 double-layer potential theory 與針對 2-dilations 的 perturbation lemma。Jin 對這一平行結果表示歡迎，並視其為對自己工作的補充。

這一事件清楚呈現出數學研究中一個不容忽視的結構性變化。當一個自 2004 年以來懸而未解的問題，透過一位自學成才的臨床醫師與一款消費級 AI 工具得以解決時，產生新成果的門檻顯著降低——同時，驗證這些成果所需的專業能力則相應變得更集中、也更具價值。

對 AI 領域而言，這一案例具體展示了前沿語言模型在具備良好結構的自主任務與充足運算時間時，所能達成的成果。數學界是否具備足夠基礎設施來吸收未來可能出現的大量成果，仍是一個未解問題。

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